Also ich kann dir nur sagen, dass man es wahrscheinlich zum laufen bringen kann. Aber möglicherweise auch immer mal wieder ähnlich Probleme auftreten.
Es ist aber auf jedenfall nicht einfach. Dazu müsste ich mir sehr genau anschauen was da bei Mint los ist und das geht schlecht ohne dass ich es mir selbst installiere. Außerdem habe ich nicht wirklich Lust, damit so viel Zeit zu verbringen.

Generell problemlos zum laufen bringen kann man das nicht. Da müsste man Änderungen bei Slackware selber machen und bei der geringen Tragweite des Problems und der großen solcher Änderungen ist es schlichtweg inakzeptabel, wenn das nicht bei Slackware selber passiert. Abgesehen davon sehe ich überhaupt keine Veranlassung dazu. Die meisten Distributionen machen das so wie bei Slackware und damit läuft es auch mit einem gemeinsamen Home.
Das kann schon mal sein, dass einzelne Distributionen da was anders machen oder vor allem unterschiedliche Softwareversionen ausliefern mit unterschiedlichen Formaten der Konfigurationsdateien, die nicht rückwärtskompatibel ist. Deswegen kann dir leider keiner garantieren, dass die gemeinsame HOME-Verzeichnis Methode funktioniert. Sie tuts oft aber halt nicht immer, insbesondere wegen dem wahrscheinlicheren Konfigurationsdateiproblem.
Entweder du bringst das selber zum laufen oder du benutzt wie gesagt die gleiche Home-Partition aber unterschiedliche HOME-Verzeichnisse. Deine Dateien kannst du z.B. mit Symlinks im neuen HOME-Verzeichnis zugänglich machen, sodenn die Berechtigungen stimmen (UID sollte in beiden Distributionen die gleiche sein).